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20以内的质数和是多少
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质数
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为什么有人显老，有人显年轻？
民生无小事hY
高粉答主
2019-08-29
·
繁杂信息太多，你要学会辨别
知道大有可为答主
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20以内的质数和是77。质数也称素数，是大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。根据质数的定义得知，20以内的全部质数为：2、3、5、7、11、13、17、19，这些质数相加得质数和为77。质数的性质：（1）质数P的约数只有两个：1和P。（2）质数的个数是无限的。（3）质数的个数公式π(n)是不减函数（增函数或常数函数）。（4）若n为正整数，在n²到(n+1)²之间至少有一个质数。（5）若n为≥2的正整数，在n到n!之间至少有一个质数。（7）若质数为不超过n(n≥4)的最大质数，则p>n/2。（8）所有大于10的质数中，个位数只有1，3，7，9。扩展资料素数的未解之谜（1）孪生素数猜想孪生素数就是相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13等等，这个猜想由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中正式提出，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数。2013年，我国数学家张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多之差小于7000万的素数对。（2）哥德巴赫猜想哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和，但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。1966年，我国数学家陈景润证明：一个充分大偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数，俗称“1+2”。（3）黎曼猜想黎曼猜想的内容如下：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上，它是黎曼在1859年提出的。黎曼猜想是一曲有关质数分布的神秘乐章，它是当今数学界最要的数学难题，克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。（4）梅森素数猜想梅森数是形如2p-1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。研究梅森素数是发现更大素数的一个有效的途径。比如，目前发现的最大质数277232917-1就是一个梅森素数。关于梅森素数的未解之谜很多，比如是否存在无穷多个梅森素数等。参考资料来源：百度百科--质数
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建邺区道算网络技术服务部广告2024-03-09批八字，2024年八字详批，测你夫妻宫是否异动，今年财富运是否有大波动，正缘是否出现专业国学名师为你详解个人生辰运势，输入出生日期立即查看yss4.daosuanwangluo.com
文知力
推荐于2017-10-04
·
知道合伙人教育行家
文知力
知道合伙人教育行家
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从事过一至六年级的数学教学，能整体把到一至六年级教材，参加过奥数辅导。
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质数是指只有1和它本身两个因数的自然数，20以内的质数有：2,3,5,7,11,13,17,19 它们的和为：2+3+5+7+11+13+17+19=77
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mattdu2006
2019-11-11
·
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20以内的质数和是77。质数也称素数，是大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。根据质数的定义得知，20以内的全部质数为：2、3、5、7、11、13、17、19，这些质数相加得质数和为77。质数的性质：（1）质数P的约数只有两个：1和P。（2）质数的个数是无限的。（3）质数的个数公式π(n)是不减函数（增函数或常数函数）。（4）若n为正整数，在n²到(n+1)²之间至少有一个质数。（5）若n为≥2的正整数，在n到n!之间至少有一个质数。（7）若质数为不超过n(n≥4)的最大质数，则p>n/2。（8）所有大于10的质数中，个位数只有1，3，7，9。
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支离破碎950
2020-04-10
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20以内的质数和是77。质数也称素数，是大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。根据质数的定义得知，20以内的全部质数为：2、3、5、7、11、13、17、19，这些质数相加得质数和为77。质数的性质：（1）质数P的约数只有两个：1和P。（2）质数的个数是无限的。（3）质数的个数公式π(n)是不减函数（增函数或常数函数）。（4）若n为正整数，在n²到(n+1)²之间至少有一个质数。（5）若n为≥2的正整数，在n到n!之间至少有一个质数。（7）若质数为不超过n(n≥4)的最大质数，则p>n/2。（8）所有大于10的质数中，个位数只有1，3，7，9。
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丙裕Bi
2018-10-13
·
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20以内的质数和是77。
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同时它必须是大于一的整数。
以下是所有小于一千的质数：
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
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883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
更多。。。。。。
例子：
8 是不是质数？ 不是，因为它可以被 2 和 4 (2×4=8)，或 1 和 8整除。
73 是不是质数？ 是，它只能 被 1 和 73整除。
计算器。。。。。。是不是质数？
看看一个数是不是质数 （适用于不大于 4,294,967,295 的数）：
你也可以试试这个质数活动。
质数和合成数
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质数表是一种方便的显示质数分布的方式。 质数显示在绿色的地方。点击一个数去查看更多详细信息，包括合数。质数表显示的数高达10000。使用 质数计算器，以找出任意一个数是否是质数，以及质因数分解器，以计算任意合数的因数。
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质数又称素数，大于1且只能被1和自身整除的自然数（即正整数）为质数。0和1不是质数，最小质数是2，没有最大质数，质数有无限个，目前发现的最大质数是梅森素数2^74207281-1（被称为M74207281）。
质数计算器
质数计算器可以快速方便的查询一个数字是否为质数，查询数字范围：2-9999999999。
查询
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50以内的质数表
50以内的质数共有15个，分别是：
23571113171923293137414347
50-100以内的质数表
100以内的质数共有25个，其中50-100以内的质数共有10个，分别是：
53596167717379838997
100-200以内的质数表
200以内的质数共有46个，其中100-200以内的质数共有21个，分别是：
101103107109113127131137139149151157163167173179181191193197199
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300以内的质数共有62个，其中200-300以内的质数共有16个，分别是：
211223227229233239241251257263269271277281283293
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1000-10000以内的质数表
10000以内的质数共有1229个，其中1000-10000以内的质数共有1061个，分别是：
10091013101910211031103310391049105110611063106910871091109310971103110911171123112911511153116311711181118711931201121312171223122912311237124912591277127912831289129112971301130313071319132113271361136713731381139914091423142714291433143914471451145314591471148114831487148914931499151115231531154315491553155915671571157915831597160116071609161316191621162716371657166316671669169316971699170917211723173317411747175317591777178317871789180118111823183118471861186718711873187718791889190119071913193119331949195119731979198719931997199920032011201720272029203920532063206920812083208720892099211121132129213121372141214321532161217922032207221322212237223922432251226722692273228122872293229723092311233323392341234723512357237123772381238323892393239924112417242324372441244724592467247324772503252125312539254325492551255725792591259326092617262126332647265726592663267126772683268726892693269927072711271327192729273127412749275327672777278927912797280128032819283328372843285128572861287928872897290329092917292729392953295729632969297129993001301130193023303730413049306130673079308330893109311931213137316331673169318131873191320332093217322132293251325332573259327132993301330733133319332333293331334333473359336133713373338933913407341334333449345734613463346734693491349935113517352735293533353935413547355735593571358135833593360736133617362336313637364336593671367336773691369737013709371937273733373937613767376937793793379738033821382338333847385138533863387738813889390739113917391939233929393139433947396739894001400340074013401940214027404940514057407340794091409340994111412741294133413941534157415941774201421142174219422942314241424342534259426142714273428342894297432743374339434943574363437343914397440944214423444144474451445744634481448344934507451345174519452345474549456145674583459145974603462146374639464346494651465746634673467946914703472147234729473347514759478347874789479347994801481348174831486148714877488949034909491949314933493749434951495749674969497349874993499950035009501150215023503950515059507750815087509951015107511351195147515351675171517951895197520952275231523352375261527352795281529753035309532353335347535153815387539353995407541354175419543154375441544354495471547754795483550155035507551955215527553155575563556955735581559156235639564156475651565356575659566956835689569357015711571757375741574357495779578357915801580758135821582758395843584958515857586158675869587958815897590359235927593959535981598760076011602960376043604760536067607360796089609161016113612161316133614361516163617361976199620362116217622162296247625762636269627162776287629963016311631763236329633763436353635963616367637363796389639764216427644964516469647364816491652165296547655165536563656965716577658165996607661966376653665966616673667966896691670167036709671967336737676167636779678167916793680368236827682968336841685768636869687168836899690769116917694769496959696169676971697769836991699770017013701970277039704370577069707971037109712171277129715171597177718771937207721172137219722972377243724772537283729773077309732173317333734973517369739374117417743374517457745974777481748774897499750775177523752975377541754775497559756175737577758375897591760376077621763976437649766976737681768776917699770377177723772777417753775777597789779378177823782978417853786778737877787978837901790779197927793379377949795179637993800980118017803980538059806980818087808980938101811181178123814781618167817181798191820982198221823182338237824382638269827382878291829382978311831783298353836383698377838783898419842384298431844384478461846785018513852185278537853985438563857385818597859986098623862786298641864786638669867786818689869386998707871387198731873787418747875387618779878388038807881988218831883788398849886188638867888788938923892989338941895189638969897189999001900790119013902990419043904990599067909191039109912791339137915191579161917391819187919992039209922192279239924192579277928192839293931193199323933793419343934993719377939193979403941394199421943194339437943994619463946794739479949194979511952195339539954795519587960196139619962396299631964396499661967796799689969797199721973397399743974997679769978197879791980398119817982998339839985198579859987198839887990199079923992999319941994999679973
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器 | 素数或复合计算器PureCalculators嵌入如何将 素数计算器 添加到我的网站？借助我们的代码，您可以轻松地将 素数计算器 添加到您自己的网站。将代码粘贴到您的网站，计算器将自动出现在该位置！如何将 素数计算器 小部件添加到 WordPress 网站？将 素数计算器 添加到您的 Wordpres 网站既快速又简单！找到要添加计算器的页面，进入编辑模式，单击“文本”，然后将代码粘贴到那里。如何使用新的代码编辑器将 HTML 小部件添加到 Wordpress 页面如何使用旧代码编辑器将 HTML 小部件添加到 Wordpress 页面Loading...数学计算器素数计算器这个计算器会告诉你一个数是素数还是合数。素数计算器输入一个数字号码是因素： 由 ❤️ 制作目录◦什么是质数？◦素数和合数是有区别的◦一是质数吗？◦素数可能是负数吗？◦为什么2是唯一的偶素数？◦质数和互质数有什么区别？◦已知的最大素数是多少？这个素数计算器会告诉你一个特定的数字是素数还是合数。如果数字是复合数字，计算器还将显示所有因子。对于任何小于 10,000,000,000,000 的整数，或任何大于 13 位的整数，测试素数。什么是质数？素数可以定义为大于 1 且不能被 1 或自身整除的整数或整数。此外，素数只能有一个因数：1 和它自己。素数是正数，非零数，恰好有两个因数——不多也不少。例子：2是质数吗2是质数，因为它只有一个因数，1和2。17是质数吗是的，17 是质数，因为它只有 2 个因数，1 和 17。51是质数吗51 不被视为素数，因为它包含两个以上的因数。 51是复合数。它可以使用以下任何数字进行分解：1、3、17 51。素数和合数是有区别的埃拉托色尼筛公元前三世纪 公元前三世纪，希腊数学家埃拉托色尼发现了一种求素数的简单方法。按照以下步骤查找 1 到 100 之间的质数。第 1 步：创建一百个图表。第 2 步：保留 1，因为它不是质数或合数。第 3 步：圈出 2，然后划掉任何倍数，因为它们不是质数。第 4 步：圈出下一个未划线的数字，即 3，并划掉任何倍数。不要忽略以前交叉的数字，例如 6、12、18 等。步骤 5：继续圈出下一个未划线的数字，并划掉它的倍数，直到表格中的所有数字都划掉或圈起来。与质数有关的术语互质数：如果两个数仅共享一个因子，即 1，则它们被视为互质数。这些数不必是质数。例如，9 和 10 是互质数。你会注意到任何一对素数总是互质的。由于它们共有两个因数，它们的公因数不能超过 1。孪生素数 如果一对素数之间只有一个合数，则称为孪生素数。例如，(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) 等。1到100之间的素数列表2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97从 1 到 100 的质数有 25 个。1到200之间的素数列表2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199。从 1 到 200 的素数共有 46 个。1到1000之间的素数列表2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383、389、397、401、409、419、421、431、433、439、443、449、457、461、463、467、479、487、491、499、503、509、521、523、541、 547、557、563、569、571、577、587、593、599、601、607、613、617、619、631、641、643、647、653、659、661、673、677、683、691、 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877、881、883、887、907、911、919、929、937、941、947、953、967、971、977、983、991、997。这里有一些关于素数的事实2. 是最小的素数。2是唯一一个偶数。唯一连续为 2 和 3 的素数是 2。一个整数，除了 0 或 1，要么是素数（要么是合数）。所有奇数都不算作素数。例如，21、39 等。素数不能超过以 5 结尾的 5。寻找素数的最早方法之一是埃拉托色尼筛法。随着数量的增加，质数变得越来越少。没有最大的素数。截至 2021 年 9 月，最大的质数是 282,589.933 - 1。这个数字以 10 为底数有 24,862,048 个数字。当你读完这篇文章时，它可能会更大。一是质数吗？一不是素数或合数。素数可能是负数吗？素数不能为负数。素数是自然数集的一部分。为什么2是唯一的偶素数？任何大于 2 的偶数都乘以 2。因此，2 是唯一的素数偶数。质数和互质数有什么区别？素数正好有两个因数：1和素数。互质数的公因数只有 1。已知的最大素数是多少？截至 2021 年 9 月，最大的质数是 282,589.933 - 1。这个数字有 24,862,048 个数。当你读完这篇文章时，它可能会更大。文章作者Parmis KazemiParmis 是一位对写作和创造新事物充满热情的内容创作者。她对技术也很感兴趣，喜欢学习新事物。素数计算器 普通话已发表: Fri May 27 2022在类别 数学计算器 中将 素数计算器 添加到您自己的网站素数计算器 用其他语言মৌলিক সংখ্যা ক্যালকুলেটরКалькулятор Простих ЧиселAlgarvude KalkulaatorPrime Number CalculatorCalculadora De Números PrimosCalculadora De Números PrimosКалькулятор Простых Чиселحاسبة العدد الأوليCalculateur De Nombres PremiersPrimzahlrechner如何将 素数计算器 添加到我的网站？借助我们的代码，您可以轻松地将 素数计算器 添加到您自己的网站。将代码粘贴到您的网站，计算器将自动出现在该位置！如何将 素数计算器 小部件添加到 WordPress 网站？将 素数计算器 添加到您的 Wordpres 网站既快速又简单！找到要添加计算器的页面，进入编辑模式，单击“文本”，然后将代码粘贴到那里。如何使用新的代码编辑器将 HTML 小部件添加到 Wordpress 页面如何使用旧代码编辑器将 HTML 小部件添加到 Wordpress 页面Loading...其他数学计算器矢量叉积计算器向量叉积计算器在三维空间中找到两个向量的叉积。矢量叉积计算器30 60 90 三角形计算器使用我们的 30 60 90 三角形计算器，您可以求解特殊的直角三角形。30 60 90 三角形计算器期望值计算器此期望值计算器可帮助您计算给定变量集及其概率的期望值（也称为平均值）。期望值计算器在线科学计算器这个科学计算器在一个易于使用的应用程序中提供了简单和高级的数学函数。在线科学计算器标准差计算器这个免费的计算器为您提供给定数据集的标准差、方差、均值和总和。标准差计算器百分比计算器这个百分比计算器是一个免费的在线计算器来计算百分比。找出什么是 Y 的 X %？百分比计算器分数计算器这个免费的分数计算器可用于计算两个常见分数的加、减、乘和除结果。分数计算器磅到杯转换器：面粉、糖、牛奶..使用这个免费的计算器为您最喜欢的食谱找出正确的测量值，轻松将磅转换为杯子！适用于美国杯和英国杯！磅到杯转换器：面粉、糖、牛奶..圆周长计算器使用这个免费的圆周长计算器来计算圆半径、圆直径、圆周长和圆面积。圆周长计算器双角公式计算器使用此免费计算器确定给定角度的双角等效值！查找有关双角公式的更多信息。双角公式计算器数学根计算器（平方根计算器）这个免费的计算器计算第二、第三和更高的指数和根。公式也可用。数学根计算器（平方根计算器）三角形面积计算器使用我们的免费三角形面积计算器轻松计算三角形面积！您可以计算底和高、三个不同的边等等。适用于角度和弧度！三角形面积计算器共端角计算器使用我们的共端角计算器找出共端角！使用度数和弧度来找出正负共端角！共端角计算器点积计算器轻松计算向量的数学点积、标量积和点积角度。点积计算器中点计算器使用我们的中点计算器轻松找出直线或三角形的中点！本页还会教你宝贵的中点公式！中点计算器有效数字转换器（Sig Figs 计算器）使用我们的有效数字工具轻松找出数字中正确数量的有效数字！有效数字转换器（Sig Figs 计算器）圆的弧长计算器使用此在线数学计算器轻松找出圆弧的长度！圆的弧长计算器点估计计算器使用我们的免费在线工具轻松计算点估计！点估计计算器百分比增长计算器使用我们的免费在线计算器轻松计算任何百分比增加！百分比增长计算器百分比差异计算器使用我们的数学百分比差异计算器立即计算百分比差异！百分比差异计算器线性插值计算器这个免费的在线计算器计算线性内插和线性外推。它还提供线性方程的斜率。线性插值计算器QR分解计算器使用我们免费的在线 QR 分解计算器轻松找出正交矩阵和上三角矩阵！QR分解计算器矩阵转置计算器此矩阵转置计算器可帮助您找到任何矩阵的转置。矩阵转置计算器三角形斜边计算器使用我们的免费数学计算器轻松找出各种三角形的斜边！三角形斜边计算器三角计算器使用我们的免费在线计算器轻松计算三角函数值 Sin、Cos、Tan、Cot、Sec 和 Csc！三角计算器直角三角形边角计算器（三角形计算器）使用我们的免费在线计算器轻松找出三角形的右侧和角度！直角三角形边角计算器（三角形计算器）45 45 90 三角计算器（直角三角形计算器）使用我们的 45 45 90 三角形计算器轻松计算斜边、测量值和比率。45 45 90 三角计算器（直角三角形计算器）矩阵乘法计算器使用我们的免费在线数学计算器轻松计算矩阵乘法！矩阵乘法计算器平均计算器使用我们的免费在线数学计算器轻松计算数字的平均数平均计算器随机数发生器该工具在任意两个数字之间生成一个真正的随机数。随机数发生器误差计算器此计算器根据样本大小和比例计算调查的误差幅度。它还允许您设置所需的置信度。误差计算器两个向量计算器之间的角度这个在线工具计算两个向量之间的角度，并拥有所有可能的向量组合。两个向量计算器之间的角度LCM 计算器 - 最小公倍数计算器这个计算器将帮助您找到一组特定数字的 LCM 或 LCD。LCM 计算器 - 最小公倍数计算器平方英尺计算器这个在线计算器计算以英尺为单位的形状面积。适用于所有形状和测量单位！平方英尺计算器指数计算器（幂计算器）这是一个可以计算指数的在线计算器。指数计算器（幂计算器）数学余数计算器这个在线工具计算除法的余数。数学余数计算器三法则计算器 - 直接比例使用我们免费的三法则计算器轻松计算数字的直接比例。三法则计算器 - 直接比例二次公式计算器二次方程是在代数中具有以下形式的任何二次多项式代数。二次公式计算器总和计算器这个求和符号计算器允许您快速计算一组数字的总和，也称为 Sigma。因此，它通常被称为 sigma 计算器。它还为您提供了该系列的样本作为总和。它可以在简单模式下使用给定的一组数字计算简单的总和。总和计算器周长计算器这是一个免费的在线工具，可以计算不同形状的周长。周长计算器Z 分数计算器（z 值）这是一个计算数据集 z 分数的计算器。Z 分数计算器（z 值）斐波那契计算器这个斐波那契计算器可用于任意计算斐波那契数列的项。斐波那契计算器胶囊体积计算器这是一个免费的计算器，可以帮助您找到任何胶囊的体积。胶囊体积计算器金字塔体积计算器这是一个免费的计算器，可以帮助您找到不同形状的体积。金字塔体积计算器三棱柱体积计算器这是一个免费的计算器，可以帮助您找到任何三棱柱的体积。三棱柱体积计算器矩形体积计算器这是一个免费的计算器，可以帮助您找到一个盒子的体积。矩形体积计算器锥体积计算器这个计算器计算圆锥体积，可用于解决学校问题。锥体积计算器立方体积计算器这是一个在线工具，可以计算任何立方体的体积。立方体积计算器气缸容积计算器这是一个在线工具，可以计算圆柱体的体积。气缸容积计算器比例因子膨胀计算器这是一个在线计算器，可帮助您计算对象的比例因子膨胀。比例因子膨胀计算器香农多样性指数计算器香农生物多样性指数计算器可用于计算社区中物种的多样性。生态学家可以使用香农多样性指数来获得有关栖息地的有用信息。香农多样性指数计算器贝叶斯定理计算器使用此贝叶斯定理计算器在线确定以另一个为条件的事件的概率。该计算考虑了 A 的先验概率、B 条件概率和 A 条件概率以及 A 条件概率。贝叶斯定理计算器反对数计算器反对数计算器允许您计算反对数函数。计算任何底数的反对数，无论是 10、自然反对数还是其他数字。反对数计算器Eˣ计算器这个惊人的工具将允许您计算 e 的任何您选择的数字的幂。Eˣ计算器指数增长计算器指数增长计算器根据其初始值、增长率和时间计算数量的最终价格。指数增长计算器样本量计算器根据总体规模、置信水平和误差范围计算样本量。样本量计算器反对数 (log) 计算器这个在线计算器将显示数字和输入的基数的逆对数。反对数 (log) 计算器泊松分布计算器泊松分布计算器将允许您确定事件在特定时间范围内多次发生的可能性。泊松分布计算器乘法逆计算器该计算器将帮助您找到整数、小数、分数或混合数的乘法逆元。乘法逆计算器分数百分比计算器该计算器将测试分数转换为百分比。可用于快速计算一个或多个考试成绩（分数）的百分比，以及最大分数。分数百分比计算器比率计算器当您调整图像大小时，此计算器可用于确定图像的尺寸。比率计算器经验法则计算器经验规则计算器，也称为“68 95 99 规则计算”，是一种工具，可让您确定 1 或 2 个标准差或 3 个标准差的范围。该计算器将分别显示 68、95 或 99.7% 的正态分布数据的范围。经验法则计算器P值计算器这个令人难以置信的工具将允许您找到 p 值。您可以使用检验统计量来确定哪个 p 值是单面的，哪个是双面的。P值计算器球体体积计算器这是一个免费的计算器，可以帮助您找到球体的体积。球体体积计算器净现值计算器此在线计算器可让您计算投资的 NPV（净现值）。计算基于初始投资和贴现率。您还可以计算内部收益率 (IRR)、总回报和净现金流。净现值计算器百分比下降使用这个计算器来找出任何数量的百分比减少将如何改变结果。只需输入原始值、减少百分比和新值即可计算变化。百分比下降面积计算器我们直观的工具可让您从不同的形状中进行选择，并在眨眼间计算出它们的面积。面积计算器概率计算器概率计算器可让您探索两个独立事件之间的可能性关系。这使您可以更好地了解事件之间的关系，从而使预测更加准确。概率计算器分数转十进制计算器使用我们的分数转小数计算器可以轻松地将分数转换为小数，然后再转换回来！分数转十进制计算器系数计算器使用我们的因数计算器找出任何数字的因数系数计算器分数到带分数计算器使用我们的简单工具将分数转换为带分数计算器分数到带分数计算器我们为教育和娱乐创建免费的在线计算器和转换器。在我们的计算器的帮助下计算、转换和计数！关于我们文章点评合伙编辑标准联系我们TwitterPureCalculators生物计算器化学计算器建筑计算器转换器和转换金融计算器食物和营养计算器健康计算器日常生活计算器数学计算器其他计算器物理计算器体育计算器计算机计算器时尚计算器统计计算器所有类别所有计算器语言EnglishPortuguêsEspañolрусскийالعربيةFrançaisDeutsch日本語TürkçeIndonesiaRomânăSlovenčinaбългарскиHrvatskiLietuviųItalianoBahasa MelayuSvenskaSuomiNorskDanskNederlandsPolskiTiếng Việt한국어LatviešuсрпскиSlovenskiAzərbaycanفارسیελληνικάעִבְרִיתčeštinamagyar nyelv普通话বাংলাYкраїнськийEestiPrivacy PolicyTerms of serviceCopyright © 2024 purecalculators.求十亿内所有质数的和，怎么做最快? - 知乎
求十亿内所有质数的和，怎么做最快? - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册Python算法JavaC（编程语言）C / C++求十亿内所有质数的和，怎么做最快?关注者2,635被浏览675,831关注问题写回答邀请回答好问题 4019 条评论分享75 个回答默认排序菜鱼ftfish半码农，半理论男，纯Nerd 关注这个题目下的答案大致分为几种：Magic。例如 @陈硕， @渡子厄（半Magic，因为Wolfram Alpha并没给出准确结果）。这个我就不评论了，因为没说是什么方法。暴力1到10亿，对每个数判断是否素数（或暴力试除，或Miller Rabin）。方法太暴力，最快也不过\Omega(n\log n)，其中n是上界10亿。筛出所有n以内的素数然后加起来。有人用Eratosthenes筛（复杂度O(n \log \log n)），有人用欧拉筛（最简单的线性筛之一），也有人用Matlab等软件。此方法也极其暴力。因为不超过n的素数有\Theta(\frac{n}{\log n})个，所以任何先找出所有素数再加起来的方法（即使使用亚线性的筛法，例如Atkin筛或Wheel筛）都不可能快于这个时间复杂度。不知所云型。就不点名了。理论上更优的算法。目前只看到 @罗宸。他给出的代码是来自于Project Euler第10题（Summation of primes ）的论坛中Lucy_Hedgehog给出的Python代码的直接翻译，注释也都还在。接下来我就来介绍一下Lucy_Hedgehog给出的这个算法。==========正式回答分割线=============首先来感受一下这个算法的速度：$ for n in 10000000 100000000 1000000000 10000000000 100000000000; do time python Main.py $n; done
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sys 0m0.031s
可以看到，即使是python这样的解释型动态语言，算出10亿的结果也不过需要0.5s，算出1000亿也只要15秒，是完虐以上各种暴力方法的。整个算法类似于Wikipedia中给出的求n以内素数个数的算法（Prime-counting function），感兴趣的也可以去看一下。==========真正的！正式回答分割线 :D =============定义S(v,p)为2到v所有整数中，在普通筛法中外层循环筛完p时仍然幸存的数的和。因此这些数要不本身是素数，要不其最小的素因子也大于p。因此我们需要求的是S(n,\lfloor\sqrt n\rfloor)，其中n是十亿。为了计算S(v,p)，先考虑几个特殊情况p\le1。此时所有数都还没有被筛掉，所以S(v,p)=\sum_{i=2}^{v}i=\frac{(2+v)(v-1)}{2}p不是素数。因为筛法中p早已被别的数筛掉，所以在这步什么都不会做，所以此时S(v,p)=S(v,p-1)；p是素数，但是v from math import floor def sum_primes_sieve(n=2e6): primes = list(primerange(2,n**0.5+1)) j = floor(n/6) total_sum = 6*j*(j+1) res_set = set() for p in primes[2:]: k = p while p*k < n: res_set.add(p*k) k += 4 if k%6==1 else 2 ans = total_sum - sum(res_set) return ans+5二、Hedgehog算法的递归版本菜鱼ftfish解释了Hedgehog算法的基本原理，其核心是答案中所列的递推式，使得我们可以用动态规划来解决质数和的问题。Hedgehog算法中显然使用的是自下而上的动态规划，我好奇用自上而下的动态规划会如何表现。因此，我使用递归函数直接翻译了菜鱼ftfish对这个算法的解释，并使用python中functools模块中的lru_cache装饰器，实现算法的记忆化，这里免去自己写备忘录代码的麻烦。这个算法是我所花时间最短，但却是表现最好的算法，甚至在小规模数据上要好于Hedgehog的原始算法，这也是我感觉奇怪的地方。我猜测原因可能是在这里的动态规划中，有很多中间数据无需计算，自上而下的动态规划可以直接跳过这些数据，回到初始的边界条件，而自下而上的动态规划则必需一步步的计算，才能得到最终的计算结果。这个算法的最大问题在于处理大规模数据时递归深度过深的问题，根据这个算法，其递归树的深度约为 \sqrt{N} ，如果要计算十亿内质数的和，则递归深度要达到31622层，而在我的python版本允许的最大递归深度仅为3000层，虽然可以自己修改python允许的最大递归深度，但python仍然会报“超过最大递归深度”的错误，所以这个算法能够处理的最大问题规模大约就在两百万左右，再大就无法保证正确执行了。可能可以使用尾递归的方法来解决这个问题，但python对尾递归优化的支持并不好，我并没有尝试，如果有人尝试成功了，可以分享一下经验。from functools import lru_cache from sympy import isprime from math import floor @lru_cache(maxsize=32) def s(v,p): if v == 1: return 0 if v == 2: return 2 if p == 1: return (2+v)*(v-1)/2 if p**2<=v and isprime(p): return s(v,p-1)-p*(s(floor(v/p),p-1)-s(p-1,p-1)) else: return s(v,p-1) def hedgehog_recursive(n=2e6): p = int(n**0.5) + 1 return s(n,p)三、勒让德算法计算N以下所有素数的和似乎在数论领域并不是一个重要的问题，我看了一些文献，只在部分文献里看过对这个质数和的渐进估计，但并没有看到给出确切的质数和的值的算法分析。但是计算N以下的所有素数的个数的问题则是数论中的热门话题了，相关文献连篇累牍，因为这个问题在数论领域有相当的重要性，甚至还有一个专门的函数 \pi(x) 表示小于等于 x 的所有素数的个数。高斯和勒让德通过经验统计的方式猜测 \pi(x)\approx x/ln(x) ，这个猜想在1896年得到证明成为素数定理，这是解析数论领域的最重要的成就之一。黎曼猜想也是在改进对 \pi(x) 的估计中被提出来的，现在应该是数论领域最重要的未被证明的猜想。除开解析数论的进路以外，很多数学家也在不断改进计算 \pi(x) 的确切值的算法，相关的研究进展大家可以参见这个维基页面，更深入的研究可以参见我在文末列出的参考文献。我们对计算N以下素数和算法来源于对勒让德对计算N以下素数个数的算法的推广。在勒让德以前，数学家们计算 \pi(x) 的方法就是筛选出 x 以下的所有素数然后数个数，勒让德首次指出，为了计算 \pi(x) ，我们并不需要知道 x 以下的所有素数，只需要知道 \pi(\sqrt{x}) 就可以了。他给出的算法基于容斥原理。我们设 \phi(x,a) 表示小于等于 x 的数中不能被 p_1,p_2\cdots p_a 整除的数的个数，其中 p_1,p_2\cdots p_a 表示前 a 个质数，如 p_1=2,p_2=3,p_3=5 等等。则有：\phi(x,a)=[x]-\sum_{i=1}^{a}[\frac{x}{p_i}]+\sum_{i from functools import lru_cache def legendre(n=2e6): primes = list(primerange(1,int(n**0.5)+1)) @lru_cache(maxsize=8192) def sigma(x,a): if a == 1: return (x//2)**2 if x%2==0 else (x//2+1)**2 elif x <= primes[a-1]: return 1 else: return sigma(x,a-1) - primes[a-1]*sigma(x//primes[a-1],a-1) a = len(primes) res = sigma(n,a) + sum(primes) - 1 return res四、meissel算法19世纪晚期，德国天文学家E. Meissel以上提到的勒让德算法进行了改进，进一步提升了计算 \pi(x) 的效率，他使用自己改进的算法计算了 \pi(10^9) ，虽然比正确值小了56，不过考虑到他完全依靠手工计算，这个准确度已经非常惊人了。Meissel对勒让德算法的主要改进是加入了一个新项 P_2(x,a) ，从而使得算法的时间复杂度从勒让德算法的 O(x) 改进到 O(x/log^{3}x) ，空间复杂度从 O(\sqrt{x}) 改进至 O(\sqrt{x}/log\ x) 。这里我们对Meissel的算法做了推广，使其可以计算N以下的质数和。首先我们对Meissel的算法做一个简单介绍：定义 P_k(x,a) 表示 [1,x] 中恰好拥有 k 个素因子，且这 k 个素因子 p_i,p_j\cdots p_k 均大于 p_a 的数的个数，则我们有：\phi(x,a)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_k(x,a) 这个公式我们可以这么理解： \phi(x,a) 表示 [1,x] 中其最小素因子都大于 p_a 的数的个数，这些数里面包括只有一个大于 p_a 的素因子的数，实际上也就是大于 p_a 的素数；也包括恰好有两个素素因子且这两个素因子都大于 p_a ，也包括恰好有三个素素因子且这三个素因子都大于 p_a ，依次类推以至无穷就可以得到所有其最小素因子都大于 p_a 的数的个数，也就是 \phi(x,a) 。我们定义 P_0(x,a)=1 ，而 P_1(x,a) 表示 [1,x] 中大于 p_a 的素数的个数，则 P_1(x,a)=\pi(x)-a ，据此我们展开上式有：\phi(x,a)=1+\pi(x)-a+P_2(x,a)+P_3(x,a)+\cdots 通过适当的选择 a 的数值，我们可以让 $P_k(x,a)$ 及以后的项变为零。如我们选择 a=\pi(\sqrt{x}) ，则有 p_{a+1}>\sqrt{x} ，此时 P_2(x,a) 及以后的变为零，上式变成之前提到的勒让德的公式，证明勒让德公式只是这个公式的一个特例。如我们选择 a=\pi(x^{1/3}) ，则有 x^{1/3} primes = list(primerange(1,int(n**(1/2))+1)) cr_primes = [x for x in primes if x def prime_sum(n): ps = list(primerange(1,n+1)) return sum(ps) @lru_cache(maxsize=32) def sigma(x,a): if a == 1: return (x//2)**2 if x%2==0 else (x//2+1)**2 else: return sigma(x,a-1) - primes[a-1]*sigma(x//primes[a-1],a-1) def total(x,a): res,index = 0,a for p in primes[a:]: res += p * (prime_sum(x//p) - sum(primes[:index])) index += 1 return res a = len(cr_primes) ans = sigma(n,a) + sum(cr_primes) - total(n,a) - 1 return ans经过尝试，至少到我写这篇文章为止，我自己并没有能够实现一个在效率表现上和处理大规模问题上比Hedgehog算法更优的算法。但这种尝试仍是有意义的，至少可以让我更加清楚的理解Hedgehog算法的原理，并且对质数计数的各种算法和推广加深了了解。我相信这些算法仍有优化的空间，如果找到的话我再来做补充。五、延伸阅读前面已经提到，质数计数是数论中一个非常重要的问题，既有使用解析数论等方法对质数整体分布规律的研究，也有各种不断改进的计算 \pi(x) 的确切值的算法。在以上我提到的Meissel算法之后约半个世纪，Lehmer[5]对这个算法进行了进一步改进，他进一步计算了 P_3(x,a) ，并使用IBM 701计算机计算了 \pi(10^{10}) ，他的计算结果只比正确结果大一，以上从勒让德到Lehmer的算法实质都是对勒让德最初提出算法的某种改进，统称为计算 \pi(x) 的组合方法(Combinatorial method)。之后在1987年，Lagarias and Odlyzko[4]提出了一种从从解析数论角度计算 \pi(x) 的方法，算法中需要用到黎曼Zeta函数的某些性质，并采用数值积分的方法，这种方法被称为计算的分析方法(见参考文献[1])，这个算法虽然具备更好的渐近性，但在性能上比不上作者们在1985年提出的对Meissel-Lehmer算法的改进(见[3])。上面几种算法的详细的时间与空间复杂度分析可以参见这篇文章，这里列一个简要的结果：在此之后，Deleglise-Rivat以及Xavier Gourdon又对算法做出了改进。在github上作者Kim Walisch对以上算法做了实现，他的测试结果如下：在2015年9月，他宣布利用自己的算法计算了 \pi(10^{27}) ，计算花费了数年时间，最高峰时使用了235G的内存，之后他们又花了五个月时间进行重新计算验证，确认的结果是：\pi(10^{27})=16,352,460,426,841,680,446,427,399 这是目前维基页面上列出的最大的 \pi(x) 值，至于是否有人算出了更大的 \pi(x) 值，我没有查到确切的信息。以上计算的算法中自Lehmer以后都变得非常复杂，至少我已经无法理解。同时由于使用的方法越来越复杂，其代码实现也会变得更加麻烦。而且相关方法能否进行推广用来计算N以下的质数和也未可知，这些问题感兴趣的同学可以继续探索。最后，参考文献[7]，设 \pi(x)=n ，则 x 以下质数的和的渐进估计是：\sum_{p